- 1 Contrôles
- 2 Equations des contrôles-types (configuration BaRatin)
- 3 Autres types de contrôles (configuration “Q=f(h)”)
- 3.1 Déversoir à forme paramétrée
- 3.2 Déversoir trapézoïdal
- 3.3 Déversoir circulaire
- 3.4 Déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire
- 3.5 Déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale
- 3.6 Déversoir triangulaire avec encoche triangulaire
- 3.7 Déversoir-orifice rectangulaire
- 3.8 Chenal trapézoïdal
- 3.9 Chenal circulaire
- 4 Spécification des a priori
1 Contrôles
1.1 Equation de base
Pour tous les contrôles-types utilisés dans BaRatinAGE, la relation hauteur-débit est décrite par une loi puissance qui s’active à partir d’une certaine hauteur. L’équation de base est la suivante :
est le débit et est la hauteur d’eau est la hauteur d’activation ; quand la hauteur descend sous la valeur , le contrôle devient inactif est le coefficient, qui dépend des propriétés physiques du contrôle est l’exposant, qui dépend uniquement du type de contrôle est l’offset ; quand la hauteur descend sous la valeur , le débit est nul.
Notez que ce dernier paramètre est en général différent de la hauteur d’activation
1.2 Contrôles par section et contrôles par chenal
Pour les contrôles par section, la relation hauteur-débit à la section de mesure est déterminée par le passage de l’écoulement par le régime critique (nombre de Froude égal à 1) au niveau d’une section de contrôle située à l’aval du point de mesure. Pour les formes de section simples telles que celles considérées dans BaRatinAGE (cas rectangle, triangle, parabole), on établit l’équation ci-dessous :
avec
Pour les contrôles par chenal, i.e. quand la relation hauteur-débit est déterminée par les frottements, on établit l’équation puissance à partir de la formule de Manning-Strickler appliquée à la géométrie du chenal. La formule de Manning-Strickler s’écrit :
Avec
2 Equations des contrôles-types (configuration BaRatin)
2.1 Déversoir rectangulaire
Déversoir rectangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un déversoir rectangulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote de la crête du déversoir ; = la largeur déversante (en ), i.e. la longueur transversale du déversoir, perpendiculairement à la direction de l’écoulement.
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit = accélération de la gravité m.s = exposant pour une section critique rectangulaire
2.2 Déversoir parabolique
Déversoir parabolique : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un déversoir parabolique, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote de la crête du déversoir au centre de la parabole ; et = respectivement la largeur et la hauteur de la parabole (en ), mesurés à la même cote (par exemple au plein-bord).
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit (Igathinathane et al. 2007) = accélération de la gravité m.s = exposant pour une section critique parabolique
Note: le coefficient de débit semble être plus grand que 0.22 pour les déversoirs paraboliques les
plus larges : selon les résultats d’Igathinathane et al. (2007),
2.3 Déversoir triangulaire
Déversoir triangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un déversoir triangulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote de la pointe du déversoir ; = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés).
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit = accélération de la gravité m.s = exposant pour une section critique triangulaire
2.4 Orifice dénoyé
Orifice dénoyé : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un orifice dénoyé (l’écoulement remplit tout l’orifice mais sort librement à l’aval, sans influence de la hauteur d’eau aval sur la relation hauteur-débit, voir Figure ci-dessus), les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; = l’aire mouillée (en ) de la section de l’orifice.
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit = accélération de la gravité m.s = exposant pour une section critique triangulaire
Note : souvent l’ouvrage comprenant l’orifice produit un remous hydraulique qui influence la hauteur d’eau avant que l’orifice ne soit complètement rempli et que la loi précédente puisse s’appliquer. La modélisation hydraulique peut alors permettre de représenter cette phase de transition et l’effet de ce remous spécifique.
2.5 Chenal rectangulaire (large)
Chenal rectangulaire large : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).
La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal rectangulaire large, i.e.
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un chenal rectangulaire large, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote moyenne du fond du chenal ; = la largeur (en ), du chenal. = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m s )- Le coefficient de Manning
(m s) peut être utilisé à la place.
Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= exposant pour un chenal rectangulaire large
2.6 Chenal parabolique (large)
Chenal parabolique large : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).
La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal parabolique large, i.e. :
Typiquement, la condition prise est :
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un chenal rectangulaire large, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote moyenne du fond du chenal (thalweg) ; et = respectivement la largeur et la hauteur de la parabole (en ), mesurés à la même cote (par exemple au plein-bord). = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m s )- Le coefficient de Manning
(m s) peut être utilisé à la place.
Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= exposant pour un chenal parabolique large
2.7 Chenal triangulaire
Chenal triangulaire : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).
La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal triangulaire. L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un chenal triangulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’eau (en ) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote moyenne du fond du chenal (thalweg) ; = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés) ; = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.) ; = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m s )- Le coefficient de Manning
(m s) peut être utilisé à la place.
Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= exposant pour un chenal triangulaire large
3 Autres types de contrôles (configuration “Q=f(h)”)
L’expérience montre qu’avec le petit nombre de contrôles-type présentés jusqu’ici, on peut décrire de très nombreuses situations rencontrées en pratique. La clé est de combiner ces contrôles-type (en les faisant se succéder les uns aux autres ou en les ajoutant) pour décrire au mieux la configuration hydraulique.
Il existe néanmoins certains contrôles qui ne peuvent pas être modélisés de façon triviale en combinant les contrôles-type de la configuration BaRatin classique. Ce cas d’étude) en fournit un exemple : un seuil triangulaire dont l’évasement s’interrompt à partir d’une certaine hauteur pour être bordé de parois verticales.
Depuis la version 3.1 de BaRatinAGE, il est possible de définir une configuration “Q=f(h)”, c’est-à-dire d’écrire l’équation d’un ou plusieurs contrôles. Un ensemble de contrôles prédéfinis est proposé, dont la description est fournie ci-après.
3.1 Déversoir à forme paramétrée
Déversoir à forme paramétrée : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Comme pour les autres types de déversoirs, l’équation
On considère toute forme de déversoir dont l’aire mouillée
Ce type de forme de déversoir inclut les cas particuliers des contrôles section rectangle (
L’équation de ce type de contrôle permet d’expliciter la relation directe entre le coefficient de débit
On retrouve à peu de chose près les valeurs a priori des coefficients proposées par défaut pour les contrôles section classiques dans BaRatinAGE :
- déversoir rectangulaire :
(valeur théorique pour seuil rectangulaire épais, arrondie à 0.4 dans BaRatinAGE) - déversoir parabolique :
(arrondie à 0.22 dans BaRatinAGE) - déversoir triangulaire :
(correspond au double dans l’équation BaRatin puisque , soit 0.286, qui est bien la valeur théorique seuil triangulaire épais, le 0.31 de BaRatinAGE étant la valeur pour seuil mince)
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= l’offset (en ) égal à la cote du point le plus bas de la section = la largeur (en ) de la section à une cote (quelconque) = la hauteur (en ) de la section à la même cote
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient d’ajustement ( ) = accélération de la gravité ( m.s ) = l’exposant de la relation entre surface mouillée et tirant d’eau (distribution uniforme entre 1 et 2, c’est-à-dire entre une section rectangulaire et une section triangulaire)
3.2 Déversoir trapézoïdal
Déversoir trapézoïdal : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Le déversoir trapézoïdal est modélisé en ajoutant un déversoir triangulaire (représentant les bords du trapèze) au déversoir rectangulaire représentant le centre du trapèze. Les deux déversoirs ont la même cote
L’équation de ce type de contrôle est donc :
si
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire, et à la cote de la crête du déversoir rectangulaire = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés), qui est la somme des angles des deux triangles aux bords du déversoir trapézoïdal = la largeur déversante (en ) du déversoir rectangulaire, perpendiculairement à la direction de l’écoulement.
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit ( ) du déversoir triangulaire = accélération de la gravité ( m.s ) = exposant pour une section critique triangulaire = coefficient de débit du déversoir rectangulaire = exposant pour une section critique rectangulaire
3.3 Déversoir circulaire
Déversoir circulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Malgré sa géométrie simple, il n’existe pas de formulation explicite exacte de la courbe de tarage d’un déversoir circulaire. Plusieurs formulations approchées sont proposées dans la littérature. Elles fournissent des résultats similaires. Nous proposons une des plus anciennes (Addison, 1941, p. 107), parce qu’elle est classique et qu’elle prédit un débit proche de celui de l’orifice dénoyé, lorsque le déversoir circulaire est plein.
L’équation de ce type de contrôle est donc :
si
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la cote (en ) du bas de la crête du déversoir circulaire = le diamètre (en ) du déversoir circulaire
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= partie constante du coefficient de débit ( ) du déversoir circulaire = exposant = coefficient = exposant = coefficient
3.4 Déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire
Déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Le « triangle tronqué » est modélisé en ajoutant un déversoir triangulaire « négatif » au déversoir triangulaire réel pour retrancher l’excès de section mouillée quand la hauteur d’eau atteint les parois verticales. On ajoute simplement un déversoir rectangulaire classique pour modéliser les deux banquettes horizontales (de même cote
L’équation de ce type de contrôle est donc :
si
si
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés) = la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la crête du déversoir rectangulaire = la largeur déversante (en ), i.e. la longueur transversale du déversoir rectangulaire, perpendiculairement à la direction de l’écoulement.
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit ( ) de l’encoche triangulaire = accélération de la gravité ( m.s ) = exposant pour une section critique triangulaire = coefficient de débit du déversoir rectangulaire = exposant pour une section critique rectangulaire
3.5 Déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale
Déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Le déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale est modélisé en ajoutant un déversoir rectangulaire (de même cote
L’équation de ce type de contrôle est donc :
si
si
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire et à la cote du fond du déversoir trapézoïdal = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés) = la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la crête du déversoir rectangulaire (banquettes) = la largeur déversante (en ) du fond du déversoir trapézoïdal = la largeur déversante (en ) du déversoir rectangulaire (banquettes)
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit ( ) de l’encoche triangulaire = accélération de la gravité ( m.s ) = exposant pour une section critique triangulaire = coefficient de débit du déversoir rectangulaire corerspondant au fond du déversoir trapézoïdal = coefficient de débit du déversoir rectangulaire (banquettes) = exposant pour une section critique rectangulaire
3.6 Déversoir triangulaire avec encoche triangulaire
Déversoir triangulaire avec encoche triangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Le déversoir triangulaire avec encoche triangulaire est modélisé comme le déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire, en remplaçant simplement le déversoir rectangulaire par un déversoir triangulaire. On distingue deux coefficients
L’équation de ce type de contrôle est donc :
si
si
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire = l’angle d’ouverture du triangle de l’encoche (en degrés) = la hauteur d’activation (en ) égale à la cote de la pointe du déversoir triangulaire, là où les banquettes rejoignent les bords de l’encoche = l’angle d’ouverture du triangle des banquettes (en degrés)
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit ( ) de l’encoche triangulaire = accélération de la gravité ( m.s ) = exposant pour une section critique triangulaire = coefficient de débit ( ) du déversoir triangulaire (banquettes)
3.7 Déversoir-orifice rectangulaire
Déversoir-orifice rectangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).
Le déversoir-orifice rectangulaire est modélisé en ajoutant un déversoir rectangulaire « négatif » au déversoir rectangulaire réel pour retrancher l’excès de section mouillée quand la hauteur d’eau atteint le plafond de l’orifice. Les deux déversoirs rectangulaires ont les mêmes largeur et coefficient, mais des cotes
L’équation de ce type de contrôle est donc :
si
si
Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la hauteur d’activation (en ) égale à la cote du bas de l’orifice rectangulaire = la hauteur d’activation (en ) égale à la cote du haut de l’orifice rectangulaire = la largeur (en ) de l’orifice rectangulaire
Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= coefficient de débit = accélération de la gravité ( m.s ) = exposant pour une section critique rectangulaire
3.8 Chenal trapézoïdal
Chenal trapézoïdal : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).
La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal trapézoïdal quelconque (sans condition sur la largeur). La forme de la section trapézoïdale est définie par la largeur au fond
L’équation de ce type de contrôle est :
Pour chaque contrôle modélisé par un chenal trapézoïdal, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la cote moyenne du fond du chenal = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m s ) = la largeur (en ) du fond du chenal = le fruit des bords de la section (distance horizontale sur hauteur verticale, sans dimension) = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.)Le coefficient de Manning
(m s) peut être utilisé à la place du coefficient de Strickler.
Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= exposant de la formule de Manning-Strickler
3.9 Chenal circulaire
Chenal circulaire : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).
La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal circulaire : cas d’un écoulement uniforme à surface libre, et non en charge, dans une buse, conduite ou canalisation de section circulaire, de rayon
Malgré une géométrie très simple, l’équation de ce type de contrôle est relativement compliquée :
La formule ne se simplifie pas vraiment, même en considérant que
Pour chaque contrôle modélisé par un chenal circulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :
= la cote moyenne du fond du chenal = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m s ) = le rayon (en ) du chenal (ou de la conduite) circulaire = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.)Le coefficient de Manning
(m s) peut être utilisé à la place du coefficient de Strickler.
Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :
= exposant de la formule de Manning-Strickler
4 Spécification des a priori
4.1 Détermination des paramètres a priori
L’analyse hydraulique (la matrice des contrôles) induit le modèle mathématique de la courbe de tarage en combinant les équations des contrôles-type (pour plus de détails sur l’équation de la courbe de tarage, voir cette page).
A cette étape de la méthode il s’agit de donner des valeurs vraisemblables aux différents paramètres de ce modèle. En effet l’inférence bayésienne, fondement de la méthode, implique d’attribuer à chacun des paramètres une valeur ET une incertitude non nulle. C’est ce que nous appelons les paramètres a priori (voir la page inférence Bayésienne).
Pour chaque contrôle il faut donc spécifier un a priori sur les paramètres
Dans BaRatinAGE, un a priori se compose d’une valeur et d’une incertitude de type “±” exprimée dans la même unité que le paramètre auquel elle est attribuée. Cette incertitude élargie est égale à deux fois l’incertitude-type (écart-type). L’hypothèse sous-jacente est que l’incertitude a priori sur la valeur du paramètre est exprimée comme une loi gaussienne.
Notes:
- La valeur a priori doit être estimée avec soin par l’utilisateur mais sans jamais utiliser les jaugeages. Si malgré tout un ou plusieurs jaugeages sont utilisés pour estimer un a priori, il faut retirer ces jaugeages du jeu de données qui sera utilisé par BaRatin pour produire la courbe de tarage.
- Il n’est que très rarement indispensable d’utiliser des jaugeages pour estimer les a priori car les paramètres des lois des contrôles-type sont des paramètres physiques relativement faciles à déterminer comme on le verra par la suite dans les exemples.
BaRatinAGE propose une aide au paramétrage a priori de l’équation de chacun des différents contrôles-types présentés plus haut. Dans ces formules, le coefficient
BaRatinAGE calcule ensuite la valeur centrale du coefficient
Formule générale de propagation
Déversoir triangulaire
Chenal parabolique large
Chenal triangulaire
4.2 Approximation des contrôles réels complexes
Modéliser les contrôles reels avec des contrôles-types idéalisés nécessite d’approximer la géométrie réelle par une forme simple équivalente. Par exemple, pour estimer les paramètres a priori des contrôles rectangulaires par section ou par chenal, il faut trouver le rectangle qui fournit la meilleure approximation de la forme moyenne du radier naturel ou du chenal moyen (voir Figure ci-dessous). Attention, le chenal de contrôle “moyen” s’étend en fait à l’amont et à l’aval de la station, de sorte que l’approximation devrait être conduite à l’échelle du tronçon, à partir de sections en travers représentatives.

Profil en travers du chenal de contrôle et principe de sa modélisation par un rectangle équivalent (en vert).
Le paramètre de résistance à l’écoulement
Pour les contrôles par chenal, la pente de frottement est approchée par la pente longitudinale
4.3 Remarques
Les a priori sont le reflet de ce que connaît l’utilisateur du fonctionnement hydraulique de la station étudiée, mais aussi de l’incertitude de ces connaissances. Il ne s’agit pas de trouver le paramètre “juste”, il s’agit de trouver des a priori “honnêtes”, c’est à dire raisonnablement estimés, que ce soit la valeur ou l’incertitude attribuée à cette valeur.
Par exemple, pour un seuil rectangulaire, une largeur de cours d’eau ne recevra pas la même incertitude selon qu’elle ait été estimée “à l’oeil” ou avec un appareil topographique.
Cette approche affranchit du complexe du modélisateur cherchant la valeur parfaite. Les phénomènes modélisés sont si complexes que même le plus pointu des modèles, calé par les meilleurs algorithmes contiendra TOUJOURS une part d’incertitude. La valeur parfaite d’existe pas. Il y a seulement des valeurs probables, il faut les approcher de notre mieux mais avec modestie. Les incertitudes sur les valeurs physiques doivent donc être simplement représentative de la fiabilité que l’on attribue à notre estimation de ces valeurs. Quelques exemples de cas sont traités dans la partie cas d’étude.