1.1 Equation de base

Pour tous les contrôles-types utilisés dans BaRatinAGE, la relation hauteur-débit est décrite par une loi puissance qui s’active à partir d’une certaine hauteur. L’équation de base est la suivante :

\[ Q(H) = \begin{cases} 0 \text{ si } H \leq b \text{ ou } h \leq \kappa \\ a(H-b)^c \text { sinon} \end{cases} \]

• \(Q\) est le débit et \(H\) est la hauteur d’eau
• \(\kappa\) est la hauteur d’activation ; quand la hauteur descend sous la valeur \(\kappa\), le contrôle devient inactif
• \(a\) est le coefficient, qui dépend des propriétés physiques du contrôle
• \(c\) est l’exposant, qui dépend uniquement du type de contrôle
• \(b\) est l’offset ; quand la hauteur descend sous la valeur \(b\), le débit est nul.

Notez que ce dernier paramètre est en général différent de la hauteur d’activation \(\kappa\). A titre d’exemple, pour un contrôle par chenal qui succède à un contrôle par seuil, le paramètre \(b\) représente la cote moyenne du fond du lit, mais le contrôle ne s’active qu’au-delà de la hauteur d’ennoiement du seuil, qui est différente de \(b\).

1.2 Contrôles par section et contrôles par chenal

Pour les contrôles par section, la relation hauteur-débit à la section de mesure est déterminée par le passage de l’écoulement par le régime critique (nombre de Froude égal à 1) au niveau d’une section de contrôle située à l’aval du point de mesure. Pour les formes de section simples telles que celles considérées dans BaRatinAGE (cas rectangle, triangle, parabole), on établit l’équation ci-dessous :

\[Q(H) = C\sqrt{2g}A_w(H)\sqrt{H-b}\]

avec \(C\) un coefficient de débit dépendant de la forme de la section de contrôle et reflétant les pertes de charge entre la section de mesure et la section critique située à l’aval, \(A_w\) l’aire mouillée (en \(m^2\)), \(g\) l’accélération de la gravité ($g $ m.s\(^{-2}\)).

Pour les contrôles par chenal, i.e. quand la relation hauteur-débit est déterminée par les frottements, on établit l’équation puissance à partir de la formule de Manning-Strickler appliquée à la géométrie du chenal. La formule de Manning-Strickler s’écrit :

\[Q(H) = K_S A_w R_h^{2/3} \sqrt{S_f}\]

Avec \(K_S\) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m\(^{1/3}.\)s\(^{-1}\)) ; le coefficient de Manning \(n = 1 / K_S\) (en m\(^{-1/3}.\)s) peut être utilisé à la place. \(A_w\) = aire mouillée (en \(m^2\)), \(R_h=A_w/P_w\) = rayon hydraulique (en \(m\)), \(P_w\) = périmètre mouillé (en \(m\)), \(S_f\) = pente de la ligne d’énergie (ou pente de frottement), approximée par la pente longitudinale du fond ou de la ligne d’eau pour un écoulement permanent uniforme.

2.1 Déversoir rectangulaire

Déversoir rectangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

L’équation de ce type de contrôle est : \[Q(H) = C_r \sqrt{2g} B_w (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un déversoir rectangulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote \(b\) de la crête du déversoir ;
• \(B_w\) = la largeur déversante (en \(m\)), i.e. la longueur transversale du déversoir, perpendiculairement à la direction de l’écoulement.

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_r\) = coefficient de débit \(\approx 0.4 ± 0.1\)
• \(g\) = accélération de la gravité $ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\)
• \(c\) = exposant pour une section critique rectangulaire \(\approx 1.5 ± 0.05\)

2.2 Déversoir parabolique

Déversoir parabolique : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

L’équation de ce type de contrôle est :

\[Q(H) = C_p \sqrt{2g} \frac{B_p}{\sqrt{H_p}} (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un déversoir parabolique, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote \(b\) de la crête du déversoir au centre de la parabole ;
• \(B_p\) et \(H_p\) = respectivement la largeur et la hauteur de la parabole (en \(m\)), mesurés à la même cote (par exemple au plein-bord).

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_p\) = coefficient de débit \(\approx 0.22 ± 0.04\) (Igathinathane et al. 2007)
• \(g\) = accélération de la gravité $ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\)
• \(c\) = exposant pour une section critique parabolique \(\approx 2.0 ± 0.05\)

Note: le coefficient de débit semble être plus grand que 0.22 pour les déversoirs paraboliques les plus larges : selon les résultats d’Igathinathane et al. (2007), \(C_p \approx 0.25\) pour \(B_p=2H_p\). Nous ne disposons pas d’information précise sur le coefficient des déversoirs paraboliques très larges ou à seuil épais.

2.3 Déversoir triangulaire

Déversoir triangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

L’équation de ce type de contrôle est : \[Q(H) = C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un déversoir triangulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote \(b\) de la pointe du déversoir ;
• \(\nu\) = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés).

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_t\) = coefficient de débit \(\approx 0.31 ± 0.05\)
• \(g\) = accélération de la gravité $ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\)
• \(c\) = exposant pour une section critique triangulaire \(\approx 2.5 ± 0.05\)

2.4 Orifice dénoyé

Orifice dénoyé : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

L’équation de ce type de contrôle est : \[Q(H) = C_o \sqrt{2g} A_w (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un orifice dénoyé (l’écoulement remplit tout l’orifice mais sort librement à l’aval, sans influence de la hauteur d’eau aval sur la relation hauteur-débit, voir Figure ci-dessus), les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ;
• \(A_w\) = l’aire mouillée (en \(m²\)) de la section de l’orifice.

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_o\) = coefficient de débit \(\approx 0.6 ± 0.1\)
• \(g\) = accélération de la gravité $ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\)
• \(c\) = exposant pour une section critique triangulaire \(\approx 0.5 ± 0.05\)

Note : souvent l’ouvrage comprenant l’orifice produit un remous hydraulique qui influence la hauteur d’eau avant que l’orifice ne soit complètement rempli et que la loi précédente puisse s’appliquer. La modélisation hydraulique peut alors permettre de représenter cette phase de transition et l’effet de ce remous spécifique.

2.5 Chenal rectangulaire (large)

Chenal rectangulaire large : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).

La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal rectangulaire large, i.e. \(H-b \ll B_w\) (typiquement \(5(H-b) < B_w\)).

L’équation de ce type de contrôle est :

\[Q(H) = K_S \sqrt{S} B_w (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un chenal rectangulaire large, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote moyenne \(b\) du fond du chenal ;
• \(B_w\) = la largeur (en \(m\)), du chenal.
• \(S\) = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.)
• \(K_S\) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m\(^{1/3}.\)s\(^{-1}\))
• Le coefficient de Manning \(n=1/K_S\) (m\(^{-1/3}.\)s) peut être utilisé à la place.

Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(c\) = exposant pour un chenal rectangulaire large \(\approx 1.67 ± 0.05\)

2.6 Chenal parabolique (large)

Chenal parabolique large : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).

La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal parabolique large, i.e. : \[H-b \ll \frac{3}{8}\frac{B_p^2}{H_p}\]

Typiquement, la condition prise est :

\[5(H-b) < \frac{3}{8}\frac{B_p^2}{H_p}\]

L’équation de ce type de contrôle est :

\[Q(H) = K_S \sqrt{S} \left( \frac{2}{3} \right)^{5/3}\frac{B_p}{H_p} (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un chenal rectangulaire large, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote moyenne \(b\) du fond du chenal (thalweg) ;
• \(B_p\) et \(H_p\) = respectivement la largeur et la hauteur de la parabole (en \(m\)), mesurés à la même cote (par exemple au plein-bord).
• \(S\) = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.)
• \(K_S\) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m\(^{1/3}.\)s\(^{-1}\))
• Le coefficient de Manning \(n=1/K_S\) (m\(^{-1/3}.\)s) peut être utilisé à la place.

Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(c\) = exposant pour un chenal parabolique large \(\approx 2.17 ± 0.05\)

2.7 Chenal triangulaire

Chenal triangulaire : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).

La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal triangulaire. L’équation de ce type de contrôle est :

\[Q(H) = K_S \sqrt{S} \tan(\nu/2) \left( \frac{\sin(\nu/2)}{2} \right)^{2/3} (H-b)^c \]

Pour chaque contrôle modélisé par un chenal triangulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa\) = la hauteur d’eau (en \(m\)) à partir de laquelle le contrôle devient actif ; quand le contrôle est le premier, ou qu’il s’ajoute à des contrôles existants, cette hauteur d’activation est égale à la cote moyenne \(b\) du fond du chenal (thalweg) ;
• \(\nu\) = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés) ;
• \(S\) = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.) ;
• \(K_S\) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m\(^{1/3}.\)s\(^{-1}\))
• Le coefficient de Manning \(n=1/K_S\) (m\(^{-1/3}.\)s) peut être utilisé à la place.

Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(c\) = exposant pour un chenal triangulaire large \(\approx 2.67 ± 0.05\)

3.1 Déversoir à forme paramétrée

Déversoir à forme paramétrée : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Comme pour les autres types de déversoirs, l’équation \(Q=f(H)\) s’établit en appliquant le théorème de Bernoulli entre la section de mesure du niveau d’eau \(H\) et la section critique. La charge dynamique liée à la vitesse d’approche étant supposée négligeable, la charge hydrostatique \(H\) est proche de la charge hydraulique totale.

On considère toute forme de déversoir dont l’aire mouillée \(A\) est proportionnelle au tirant d’eau \(H-b\) élevé à la puissance \(k\) :

\[A(H)=\frac{B_s}{kH_s^{k-1}} (H-b)^k\] avec \(B_s\) et \(H_s\) respectivement la largeur et la hauteur de la section prises pour une même cote \(H_0\) (quelconque).

Ce type de forme de déversoir inclut les cas particuliers des contrôles section rectangle (\(k=1\)), parabole (\(k=1.5\)) et triangle (\(k=2\)) de BaRatin, ainsi que toutes les formes intermédiaires.

L’équation de ce type de contrôle permet d’expliciter la relation directe entre le coefficient de débit \(C(k)\) et l’exposant \(k+1/2\) du contrôle :

\[Q(H)= C(k) \sqrt{2g} \frac{B_s}{H_s^{k-1}} (H-b)^{k+1/2}\] avec :

\[C(k) = \frac{C_0}{\sqrt{2}} \frac{k^{k-1}}{(k+\frac{1}{2})^{k+\frac{1}{2}}} \] \(C_0\) (\(\approx 1\)) est un coefficient de calage empirique, représentant l’écart entre le coefficient de débit réel et le coefficient de débit théorique, en fonction des conditions réelles d’approche, de géométrie, d’état de surface, etc.

On retrouve à peu de chose près les valeurs a priori des coefficients proposées par défaut pour les contrôles section classiques dans BaRatinAGE :

• déversoir rectangulaire : \(C(1) = 0.385\) (valeur théorique pour seuil rectangulaire épais, arrondie à 0.4 dans BaRatinAGE)
• déversoir parabolique : \(C(1.5) = 0.217\) (arrondie à 0.22 dans BaRatinAGE)
• déversoir triangulaire : \(C(2) = 0.143\) (correspond au double dans l’équation BaRatin puisque \(B_s/H_s=2 {\rm tan}(\nu/2)\), soit 0.286, qui est bien la valeur théorique seuil triangulaire épais, le 0.31 de BaRatinAGE étant la valeur pour seuil mince)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(b\) = l’offset (en \(m\)) égal à la cote du point le plus bas de la section
• \(B_s\) = la largeur (en \(m\)) de la section à une cote \(H_0\) (quelconque)
• \(H_s\) = la hauteur (en \(m\)) de la section à la même cote \(H_0\)

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_0\) = coefficient d’ajustement (\(\approx 1 ± 0.05\))
• \(g\) = accélération de la gravité ($ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\))
• \(k\) = l’exposant de la relation entre surface mouillée \(A\) et tirant d’eau \(H-b\) (distribution uniforme entre 1 et 2, c’est-à-dire entre une section rectangulaire et une section triangulaire)

3.2 Déversoir trapézoïdal

Déversoir trapézoïdal : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Le déversoir trapézoïdal est modélisé en ajoutant un déversoir triangulaire (représentant les bords du trapèze) au déversoir rectangulaire représentant le centre du trapèze. Les deux déversoirs ont la même cote \(\kappa_1\).

L’équation de ce type de contrôle est donc :

\[ Q(H) = C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_1)^{c_t} + C_r \sqrt{2g} B_r (H-\kappa_1)^{c_r}\]

si \(H>\kappa_1\)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa_1\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire, et à la cote de la crête du déversoir rectangulaire
• \(\nu\) = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés), qui est la somme des angles des deux triangles aux bords du déversoir trapézoïdal
• \(B_r\) = la largeur déversante (en \(m\)) du déversoir rectangulaire, perpendiculairement à la direction de l’écoulement.

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_t\) = coefficient de débit (\(\approx 0.31 ± 0.05\)) du déversoir triangulaire
• \(g\) = accélération de la gravité ($ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\))
• \(c_t\) = exposant pour une section critique triangulaire \(\approx 2.5 ± 0.05\)
• \(C_r\) = coefficient de débit \(\approx 0.4 ± 0.1\) du déversoir rectangulaire
• \(c_r\) = exposant pour une section critique rectangulaire \(\approx 1.5 ± 0.05\)

3.3 Déversoir circulaire

Déversoir circulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Malgré sa géométrie simple, il n’existe pas de formulation explicite exacte de la courbe de tarage d’un déversoir circulaire. Plusieurs formulations approchées sont proposées dans la littérature. Elles fournissent des résultats similaires. Nous proposons une des plus anciennes (Addison, 1941, p. 107), parce qu’elle est classique et qu’elle prédit un débit proche de celui de l’orifice dénoyé, lorsque le déversoir circulaire est plein.

L’équation de ce type de contrôle est donc :

\[ Q(H) = 0.001 \times [C_c + (110(H-b)/D)^{-1} + 0.041 (H-b)/D ] \times (10D)^{2.5} \times [a_1 ((H-b)/D)^{c_1} - a_2 ((H-b)/D)^{c_2} ]\]

si \(b \leq H \leq b+D\)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(b\) = la cote (en \(m\)) du bas de la crête du déversoir circulaire
• \(D\) = le diamètre (en \(m\)) du déversoir circulaire

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_c\) = partie constante du coefficient de débit (\(\approx 0.5550 ± 0.05\)) du déversoir circulaire
• \(c_1\) = exposant \(\approx 1.975 ± 0.001\)
• \(a_1\) = coefficient \(\approx 10.12 ± 0.1\)
• \(c_2\) = exposant \(\approx 3.78 ± 0.001\)
• \(a_2\) = coefficient \(\approx 2.66 ± 0.03\)

3.4 Déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire

Déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Le « triangle tronqué » est modélisé en ajoutant un déversoir triangulaire « négatif » au déversoir triangulaire réel pour retrancher l’excès de section mouillée quand la hauteur d’eau atteint les parois verticales. On ajoute simplement un déversoir rectangulaire classique pour modéliser les deux banquettes horizontales (de même cote \(\kappa_2\)) de part et d’autre de l’encoche.

L’équation de ce type de contrôle est donc :

\[ Q(H) = C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_1)^{c_t}\]

si \(\kappa_1\leq H \leq \kappa_2\)

\[ Q(H) = C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_1)^{c_t} - C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_2)^{c_t} + C_r \sqrt{2g} B_r (H-\kappa_2)^{c_r}\]

si \(H>\kappa_2\)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa_1\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire
• \(\nu\) = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés)
• \(\kappa_2\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la crête du déversoir rectangulaire
• \(B_r\) = la largeur déversante (en \(m\)), i.e. la longueur transversale du déversoir rectangulaire, perpendiculairement à la direction de l’écoulement.

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_t\) = coefficient de débit (\(\approx 0.31 ± 0.05\)) de l’encoche triangulaire
• \(g\) = accélération de la gravité ($ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\))
• \(c_t\) = exposant pour une section critique triangulaire \(\approx 2.5 ± 0.05\)
• \(C_r\) = coefficient de débit \(\approx 0.4 ± 0.1\) du déversoir rectangulaire
• \(c_r\) = exposant pour une section critique rectangulaire \(\approx 1.5 ± 0.05\)

3.5 Déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale

Déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Le déversoir rectangulaire avec encoche trapézoïdale est modélisé en ajoutant un déversoir rectangulaire (de même cote \(\kappa_1\)) au déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire, de façon à représenter l’encoche en « trapèze tronqué ». On distingue deux coefficients \(C_{r1}\) et \(C_{r2}\) différents pour les deux déversoirs rectangulaires car les conditions d’approche de l’écoulement (et les hauteurs de pelle) ne sont pas les mêmes en amont de l’encoche et en amont des banquettes.

L’équation de ce type de contrôle est donc :

\[ Q(H) = C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_1)^{c_t} + C_{r1} \sqrt{2g} B_{r1} (H-\kappa_1)^{c_r}\]

si \(\kappa_1\leq H \leq \kappa_2\)

\[ Q(H) = C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_1)^{c_t} - C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) (H-\kappa_2)^{c_t} + C_{r1} \sqrt{2g} B_{r1} (H-\kappa_1)^{c_r} + C_{r2} \sqrt{2g} B_{r2} (H-\kappa_2)^{c_r}\]

si \(H>\kappa_2\)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa_1\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire et à la cote du fond du déversoir trapézoïdal
• \(\nu\) = l’angle d’ouverture du triangle (en degrés)
• \(\kappa_2\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la crête du déversoir rectangulaire (banquettes)
• \(B_{r1}\) = la largeur déversante (en \(m\)) du fond du déversoir trapézoïdal
• \(B_{r2}\) = la largeur déversante (en \(m\)) du déversoir rectangulaire (banquettes)

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_t\) = coefficient de débit (\(\approx 0.31 ± 0.05\)) de l’encoche triangulaire
• \(g\) = accélération de la gravité ($ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\))
• \(c_t\) = exposant pour une section critique triangulaire \(\approx 2.5 ± 0.05\)
• \(C_{r1}\) = coefficient de débit \(\approx 0.4 ± 0.1\) du déversoir rectangulaire corerspondant au fond du déversoir trapézoïdal
• \(C_{r2}\) = coefficient de débit \(\approx 0.4 ± 0.1\) du déversoir rectangulaire (banquettes)
• \(c_r\) = exposant pour une section critique rectangulaire \(\approx 1.5 ± 0.05\)

3.6 Déversoir triangulaire avec encoche triangulaire

Déversoir triangulaire avec encoche triangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Le déversoir triangulaire avec encoche triangulaire est modélisé comme le déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire, en remplaçant simplement le déversoir rectangulaire par un déversoir triangulaire. On distingue deux coefficients \(C_{t1}\) et \(C_{t2}\) différents pour les deux déversoirs triangulaires car les conditions d’approche de l’écoulement (et les hauteurs de pelle) ne sont pas les mêmes en amont de l’encoche et en amont des banquettes.

L’équation de ce type de contrôle est donc :

\[ Q(H) = C_{t1} \sqrt{2g} \tan(\nu_1/2) (H-\kappa_1)^{c_t}\]

si \(\kappa_1\leq H \leq \kappa_2\)

\[ Q(H) = C_{t1} \sqrt{2g} \tan(\nu_1/2) (H-\kappa_1)^{c_t} - C_{t1} \sqrt{2g} \tan(\nu_1/2) (H-\kappa_2)^{c_t} + C_{t2} \sqrt{2g}\tan(\nu_2/2) (H-\kappa_2)^{c_t}\]

si \(H>\kappa_2\)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa_1\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la pointe de l’encoche triangulaire
• \(\nu_1\) = l’angle d’ouverture du triangle de l’encoche (en degrés)
• \(\kappa_2\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote de la pointe du déversoir triangulaire, là où les banquettes rejoignent les bords de l’encoche
• \(\nu_1\) = l’angle d’ouverture du triangle des banquettes (en degrés)

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_{t1}\) = coefficient de débit (\(\approx 0.31 ± 0.05\)) de l’encoche triangulaire
• \(g\) = accélération de la gravité ($ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\))
• \(c_t\) = exposant pour une section critique triangulaire \(\approx 2.5 ± 0.05\)
• \(C_{t2}\) = coefficient de débit (\(\approx 0.31 ± 0.05\)) du déversoir triangulaire (banquettes)

3.7 Déversoir-orifice rectangulaire

Déversoir-orifice rectangulaire : vue en long (à gauche) et vue en travers de la section de contrôle (à droite).

Le déversoir-orifice rectangulaire est modélisé en ajoutant un déversoir rectangulaire « négatif » au déversoir rectangulaire réel pour retrancher l’excès de section mouillée quand la hauteur d’eau atteint le plafond de l’orifice. Les deux déversoirs rectangulaires ont les mêmes largeur et coefficient, mais des cotes \(\kappa_1\) et \(\kappa_2\) différentes, correspondant au bas et au haut de l’orifice.

L’équation de ce type de contrôle est donc :

\[ Q(H) = C_r \sqrt{2g} B_r (H-\kappa_1)^{c_r}\]

si \(\kappa_1\leq H \leq \kappa_2\)

\[ Q(H) = C_r \sqrt{2g} B_r \left[ (H-\kappa_1)^{c_r} - (H-\kappa_2)^{c_r} \right]\]

si \(H>\kappa_2\)

Les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(\kappa_1\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote du bas de l’orifice rectangulaire
• \(\kappa_2\) = la hauteur d’activation (en \(m\)) égale à la cote du haut de l’orifice rectangulaire
• \(B_r\) = la largeur (en \(m\)) de l’orifice rectangulaire

Pour les autres paramètres, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(C_r\) = coefficient de débit \(\approx 0.4 ± 0.1\)
• \(g\) = accélération de la gravité ($ ± 0.01 $ m.s\(^{-2}\))
• \(c_r\) = exposant pour une section critique rectangulaire \(\approx 1.5 ± 0.05\)

3.8 Chenal trapézoïdal

Chenal trapézoïdal : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).

La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal trapézoïdal quelconque (sans condition sur la largeur). La forme de la section trapézoïdale est définie par la largeur au fond \(B_r\) et par le fruit \(m\), c’est-à-dire la pente (par rapport à la verticale) des bords du chenal. Le fruit \(m\) est la tangente de l’angle que fait la paroi avec la verticale, soit le rapport de la distance horizontale à la hauteur verticale. Pour un fruit nul (\(m=0\)), l’équation est celle d’un contrôle chenal rectangulaire (sans condition de largeur, contrairement au contrôle chenal rectangulaire large de BaRatin).

L’équation de ce type de contrôle est :

\[Q(H) = K_S \sqrt{S} \frac{\left[B_r (H-b) + m (H-b)^2 \right]^{c+1}}{\left[B_r + 2 (H-b) \sqrt{1+m^2} \right]^{c}} \]

Pour chaque contrôle modélisé par un chenal trapézoïdal, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(b\) = la cote moyenne du fond du chenal

• \(K_S\) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m\(^{1/3}.\)s\(^{-1}\))

• \(B_r\) = la largeur (en \(m\)) du fond du chenal

• \(m\) = le fruit des bords de la section (distance horizontale sur hauteur verticale, sans dimension)

• \(S\) = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.)

• Le coefficient de Manning \(n=1/K_S\) (m\(^{-1/3}.\)s) peut être utilisé à la place du coefficient de Strickler.

Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(c\) = exposant de la formule de Manning-Strickler \(\approx 0.67 ± 0.05\)

3.9 Chenal circulaire

Chenal circulaire : vue en long (à gauche) et section en travers à l’échelle (à droite).

La formule de Manning-Strickler est appliquée à un chenal circulaire : cas d’un écoulement uniforme à surface libre, et non en charge, dans une buse, conduite ou canalisation de section circulaire, de rayon \(r\).

Malgré une géométrie très simple, l’équation de ce type de contrôle est relativement compliquée :

\[Q(H) = K_S \sqrt{S} \frac{r^{8/3}}{2^{2/3}} {\rm acos}(1-\frac{H}{r}) \left[ 1- \frac{{\rm sin}(2{\rm acos}(1-\frac{H}{r}))}{2{\rm acos}(1-\frac{H}{r})} \right]^{c+1} \] si \(b < H\leq b+r\).

\[Q(H) = K_S \sqrt{S} \frac{r^{8/3}}{2^{2/3}} \left[ \pi - {\rm acos}(\frac{H}{r}-1) \right] \left[ 1+ \frac{{\rm sin}(2{\rm acos}(\frac{H}{r}-1))}{2\pi - 2{\rm acos}(\frac{H}{r}-1)} \right]^{c+1} \] si \(b+r < H < b+2r\).

La formule ne se simplifie pas vraiment, même en considérant que \({\rm sin}(2{\rm acos}(x))=2x\sqrt{1-x^2}\).

Pour chaque contrôle modélisé par un chenal circulaire, les paramètres non renseignés par défaut auxquels il faut affecter des a priori sont :

• \(b\) = la cote moyenne du fond du chenal

• \(K_S\) = le coefficient de résistance à l’écoulement (coefficient de Strickler en m\(^{1/3}.\)s\(^{-1}\))

• \(r\) = le rayon (en \(m\)) du chenal (ou de la conduite) circulaire

• \(S\) = la pente longitudinale du chenal autour de la station (sans unité, il faut saisir 0.01 pour 1%, etc.)

• Le coefficient de Manning \(n=1/K_S\) (m\(^{-1/3}.\)s) peut être utilisé à la place du coefficient de Strickler.

Pour le paramètre restant, des a priori par défaut sont déjà spécifiés :

• \(c\) = exposant de la formule de Manning-Strickler \(\approx 0.67 ± 0.05\)

4.1 Détermination des paramètres a priori

L’analyse hydraulique (la matrice des contrôles) induit le modèle mathématique de la courbe de tarage en combinant les équations des contrôles-type (pour plus de détails sur l’équation de la courbe de tarage, voir cette page).

A cette étape de la méthode il s’agit de donner des valeurs vraisemblables aux différents paramètres de ce modèle. En effet l’inférence bayésienne, fondement de la méthode, implique d’attribuer à chacun des paramètres une valeur ET une incertitude non nulle. C’est ce que nous appelons les paramètres a priori (voir la page inférence Bayésienne).

Pour chaque contrôle il faut donc spécifier un a priori sur les paramètres \(\kappa\), \(a\) et \(c\). Il n’est par contre pas nécessaire d’en spécifier un pour le paramètre \(b\) : en effet, la continuité de la courbe de tarage impose une contrainte qui implique que le paramètre \(b\) se déduit automatiquement des trois autres paramètres.

Dans BaRatinAGE, un a priori se compose d’une valeur et d’une incertitude de type “±” exprimée dans la même unité que le paramètre auquel elle est attribuée. Cette incertitude élargie est égale à deux fois l’incertitude-type (écart-type). L’hypothèse sous-jacente est que l’incertitude a priori sur la valeur du paramètre est exprimée comme une loi gaussienne.

Notes:

• La valeur a priori doit être estimée avec soin par l’utilisateur mais sans jamais utiliser les jaugeages. Si malgré tout un ou plusieurs jaugeages sont utilisés pour estimer un a priori, il faut retirer ces jaugeages du jeu de données qui sera utilisé par BaRatin pour produire la courbe de tarage.
• Il n’est que très rarement indispensable d’utiliser des jaugeages pour estimer les a priori car les paramètres des lois des contrôles-type sont des paramètres physiques relativement faciles à déterminer comme on le verra par la suite dans les exemples.

BaRatinAGE propose une aide au paramétrage a priori de l’équation de chacun des différents contrôles-types présentés plus haut. Dans ces formules, le coefficient \(a\) de l’équation de base \(a(H-b)^c\) est une fonction de plusieurs paramètres physiques, dont l’utilisateur doit spécifier une valeur centrale et une incertitude (moyenne et deux fois l’écart-type de la distribution gaussienne sous-jacente).

BaRatinAGE calcule ensuite la valeur centrale du coefficient \(a\) et son incertitude, par la méthode de propagation des incertitudes proposée par le GUM (JCGM, 2008), soit un développement limité de série de Taylor au premier ordre. Les formules implémentées pour les différents contrôles-types sont détaillées ci-dessous. On rappelle que les incertitudes-types notées \(u\) valent la moitié des incertitudes élargies visibles dans l’interface de BaRatinAGE.

Formule générale de propagation

\[ \begin{align} a = & f(x_1,\ldots,x_p) \\ u^2(a) = & \sum_{i=1}^p \left( \frac{\partial f(x_1,\ldots,x_p)}{\partial x_i} \right)^2 u^2(x_i) \end{align} \] Déversoir rectangulaire

\[ \begin{align} a= & C_r \sqrt{2g} B_w \\ u^2(a) = & \left( \sqrt{2g} B_w \right)^2 u^2(C_r) + \left(\frac{C_r B_w}{\sqrt{2g}} \right)^2 u^2(g)+ \left( C_r \sqrt{2g} \right)^2 u^2(B_w) \end{align} \] Déversoir parabolique

\[ \begin{align} a = & C_p \sqrt{2g} \frac{B_p}{\sqrt{H_p}} \\ u^2(a) = & \left(\sqrt{2g} \frac{B_p}{\sqrt{H_p}} \right)^2 u^2(C_p)+ \left( C_p \frac{B_p}{\sqrt{2g}\sqrt{H_p}} \right)^2 u^2(g)+ \left( \frac{C_p \sqrt{2g}}{\sqrt{H_p}} \right)^2 u^2(B_p)+ \left( C_p \sqrt{2g} \frac{B_p}{2H_p^{3/2}} \right)^2 u^2(H_p) \end{align} \]

Déversoir triangulaire

\[ \begin{align} a = & C_t \sqrt{2g} \tan(\nu/2) \\ u^2(a) = & \left( \sqrt{2g} \tan(\nu/2) \right)^2 u^2(C_t)+ \left( \frac{C_t \tan(\nu/2)}{\sqrt{2g}} \right)^2 u^2(g)+ \left( \frac{C_t \sqrt{2g}}{2\cos^2(\nu/2)} \right)^2 u^2(\nu) \end{align} \] Orifice dénoyé

\[ \begin{align} a = & C_o \sqrt{2g} A_w \\ u^2(a) = & \left( \sqrt{2g} A_w \right)^2 u^2(C_o) + \left(\frac{C_o A_w}{\sqrt{2g}} \right)^2 u^2(g)+ \left( C_o \sqrt{2g} \right)^2 u^2(A_w) \end{align} \] Chenal rectangulaire large

\[ \begin{align} a = & K_S \sqrt{S} B_w \\ u^2(a) = & \left( \sqrt{S} B_w \right)^2 u^2(K_S) + \left(\frac{K_S B_w}{2\sqrt{S}} \right)^2 u^2(S)+ \left( K_S \sqrt{S} \right)^2 u^2(B_w) \end{align} \]

Chenal parabolique large

\[ \begin{align} a = & K_S \left( \frac{2}{3}\right)^{5/3} \sqrt{S} \frac{B_p}{\sqrt{H_p}} \\ u^2(a) = & \left( \frac{2}{3}\right)^{10/3} \left[ \left( \sqrt{S} \frac{B_p}{\sqrt{H_p}} \right)^2 u^2(K_S)+ \left( \frac{K_S B_p}{2 \sqrt{S} \sqrt{H_p}} \right)^2 u^2(S)+ \left( \frac{K_S \sqrt{S}}{\sqrt{H_p}} \right)^2 u^2(B_p)+ \left( \frac{K_S \sqrt{S} B_p}{2H_p^{3/2}} \right)^2 u^2(H_p) \right] \end{align} \]

Chenal triangulaire

\[ \begin{align} a = & K_S \sqrt{S} \tan(\nu/2) \left( \frac{\sin(\nu/2)}{2} \right)^{2/3} \\ u^2(a) = & \left( \sqrt{S} \tan(\nu/2) \left( \frac{\sin(\nu/2)}{2} \right)^{2/3} \right)^2 u^2(K_S)+ \left( \frac{K_S \tan(\nu/2) \left( \frac{\sin(\nu/2)}{2} \right)^{2/3}}{2\sqrt{S}} \right)^2 u^2(S)+ \left( K_S \sqrt{S} \left( \frac{1}{2} \right)^{5/3} \sin^{2/3}(\nu/2) \left( \frac{1}{\cos^2(\nu/2)}+\frac{2}{3} \right) \right)^2 u^2(\nu) \end{align} \]

4.2 Approximation des contrôles réels complexes

Modéliser les contrôles reels avec des contrôles-types idéalisés nécessite d’approximer la géométrie réelle par une forme simple équivalente. Par exemple, pour estimer les paramètres a priori des contrôles rectangulaires par section ou par chenal, il faut trouver le rectangle qui fournit la meilleure approximation de la forme moyenne du radier naturel ou du chenal moyen (voir Figure ci-dessous). Attention, le chenal de contrôle “moyen” s’étend en fait à l’amont et à l’aval de la station, de sorte que l’approximation devrait être conduite à l’échelle du tronçon, à partir de sections en travers représentatives.

Profil en travers du chenal de contrôle et principe de sa modélisation par un rectangle équivalent (en vert).

Le paramètre de résistance à l’écoulement \(K_S\) ou \(n\) des contrôles par chenal est souvent délicat à déterminer. Il existe des tables des valeurs courantes (par exemple table de Chow) mais également des modes de calcul qui s’appuient sur une description plus fine des conditions d’écoulement (par exemple méthode de Cowan).

Pour les contrôles par chenal, la pente de frottement est approchée par la pente longitudinale \(S\) du fond du chenal moyen ou de la ligne d’eau. La pente de la ligne d’eau en crue est rarement connue, à défaut on utilisera la pente moyenne du fond ou celle de la ligne d’eau d’étiage, plus facile à mesurer.

4.3 Remarques

Les a priori sont le reflet de ce que connaît l’utilisateur du fonctionnement hydraulique de la station étudiée, mais aussi de l’incertitude de ces connaissances. Il ne s’agit pas de trouver le paramètre “juste”, il s’agit de trouver des a priori “honnêtes”, c’est à dire raisonnablement estimés, que ce soit la valeur ou l’incertitude attribuée à cette valeur.

Par exemple, pour un seuil rectangulaire, une largeur de cours d’eau ne recevra pas la même incertitude selon qu’elle ait été estimée “à l’oeil” ou avec un appareil topographique.

Cette approche affranchit du complexe du modélisateur cherchant la valeur parfaite. Les phénomènes modélisés sont si complexes que même le plus pointu des modèles, calé par les meilleurs algorithmes contiendra TOUJOURS une part d’incertitude. La valeur parfaite d’existe pas. Il y a seulement des valeurs probables, il faut les approcher de notre mieux mais avec modestie. Les incertitudes sur les valeurs physiques doivent donc être simplement représentative de la fiabilité que l’on attribue à notre estimation de ces valeurs. Quelques exemples de cas sont traités dans la partie cas d’étude.