1 Analyse hydraulique

Cette station fait partie de l’observatoire du bassin versant de l’Yzeron qui suit depuis 1997 les débits de plusieurs cours d’eau de ce bassin péri-urbain situé à l’ouest de la ville de Lyon. Cette station est située en amont d’un déversoir rectangulaire muni d’une encoche triangulaire, pour améliorer la sensibilité de la relation hauteur-débit pour les bas débits (cf. Figure 1, haut). Cette configuration hydraulique est rencontrée assez fréquemment en pratique, mais sa modélisation dans le cadre de BaRatin n’est pas triviale car l’équation exacte du déversoir de type “triangle tronqué” (limité par des parois verticales fictives) qui s’ajoute au déversoir rectangulaire n’est pas compatible avec les hypothèses faites par BaRatin. Ce cas d’étude illustre donc comment :

• ou bien s’en sortir avec une approximation compatible avec le cadre imposé par BaRatin ;
• ou bien utiliser l’équation exacte sous la forme d’une configuration hydraulique “Q=f(h)”.

Figure 1. Analyse des contrôles hydrauliques pour le ruisseau de Charbonnières à Charbonnières-Les-Bains. Haut: photo prise depuis l’aval, avec vue du déversoir “triangle tronqué” inséré dans un déversoir rectangulaire plus large (photo: M. Lagouy); bas: schéma d’un déversoir de type “triangle tronqué” pris isolément.

La partie problématique de cette configuration hydraulique est le déversoir de type “triangle tronqué” inséré dans le plus large déversoir rectangulaire, et qui est schématisé isolément sur la Figure 1 (bas). Le déversoir “triangle tronqué” est constitué d’un déversoir triangulaire dont l’évasement s’interrompt à partir d’une certaine hauteur pour être bordé de parois verticales fictives. L’équation de ce type de déversoir au-dessus de la cote \(b'\) à laquelle les bords du triangle rencontrent les parois verticales est donnée ci-dessous. Elle peut être interprétée comme l’ajout d’un déversoir triangulaire « négatif » au déversoir triangulaire réel pour retrancher l’excès de section mouillée quand la hauteur d’eau atteint les parois verticales.

\[ Q(H)=\underbrace{C_t \sqrt{2g}\tan({\nu/2})}_{a_1}(H-b)^{c_t} - \underbrace{C_t \sqrt{2g}\tan({\nu/2})}_{a_2}(H-b')^{c_t} \]

Cette équation ne rentre pas dans le cadre de BaRatin pour les raisons suivantes :

1. Elle ne peut pas être factorisée sous la forme d’une équation puissance simple de type \(Q(H)=a(H-b)^c\)
2. Il semblerait naturel d’utiliser une soustraction de deux contrôles, mais cette approche ne fonctionne pas car :
   1. BaRatin ne permet pas de soustraire des équations puissance, seulement de les ajouter; on serait tenté de dire qu’il suffit alors d’ajouter un contrôle avec un coefficient \(a'_2=-a_2\) négatif, mais BaRatin n’autorise pas les coefficients négatifs.
   2. Les paramètres des 2 contrôles qu’il faudrait soustraire sont liés : en particulier ils ont les mêmes coefficients \((a_1=a_2)\) et le même exposant \(c_t\). BaRatin ne permet pas d’imposer de tels liens.

Ces contraintes imposées par BaRatin sont liées à la formulation générale de la courbe de tarage, et en particulier à la nécessité de résoudre une équation de continuité. Nous décrivons à la fin de cette page des pistes en cours d’investigation pour contourner ces contraintes, mais en attendant une approche par approximation est nécessaire pour “faire rentrer” ce type de contrôle dans le cadre de BaRatin. Un moyen commode de modéliser ce type de situation est d’utiliser un déversoir triangulaire pour les hauteurs inférieures à \(b'\), puis de le remplacer par un déversoir rectangulaire pour les hauteurs supérieures à \(b'\). La cote du fond de ce rectangle (offset) devrait être estimée au-dessus de la côte du fond du triangle, et l’avantage est que l’exposant \(c=1.5\) correspond plus à la géométrie contrainte latéralement par les parois verticales (à comparer avec l’exposant \(c=2.5\) du triangle). Eventuellement, une transition acceptable entre les approximations triangles et rectangles peut être obtenue avec un déversoir parabolique équivalent, d’offset intermédiaire et de dimensions appropriées.

Dans le cas particulier du ruisseau de Charbonnières, nous adoptons la configuration approximative suivante (conduisant à la matrice des contrôles ci-après) :

1. Déversoir triangulaire pour \(H<b'\)
2. Remplacement par un déversoir rectangulaire équivalent pour \(H \geq b'\)
3. Ajout d’un déversoir rectangulaire plus large représentant le rectangle dans lequel le triangle tronqué est encastré pour \(H \geq b'\)

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Contrôle} & \text{Nature} & \text{Type} \\ \hline 1 & \text{Déversoir triangulaire} & \text{section} \\ \hline 2 & \text{Déversoir rectangulaire approximant le triangle tronqué} & \text{section} \\ \hline 3 & \text{Déversoir rectangulaire large} & \text{section} \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|} \hline &\text{contrôle 1} & \text{contrôle 2} & \text{contrôle 3}\\ \hline \text{segment 1} &\color{lime}{1} & &\\ \hline \text{segment 2} & \color{darkslategray}{0} & \color{lime}{1} &\\ \hline \text{segment 3} & \color{darkslategray}{0} & \color{lime}{1} & \color{lime}{1} \\ \hline \end{array} \]

2 Spécification des a priori

Une fois la configuration hydraulique choisie, la spécification des a priori peut être effectuée comme suit :

• Le contrôle 1 (triangle) s’active à \(\kappa = 7.2 \mathrm{cm} \pm 1 \mathrm{cm}\) et l’angle d’ouverture est égal à \(\nu = 90° \pm 2°\)
• Le contrôle 2 (rectangle approximant le triangle tronqué) s’active à \(\kappa = 40.3 \mathrm{cm} \pm 0.5 \mathrm{cm}\) et a pour largeur \(B_w = 70 \mathrm{cm} \pm 3 \mathrm{cm}\)
• Le contrôle 3 (rectangle large ajouté au rectangle ci-dessus) s’active à \(\kappa = 40.4 \mathrm{cm} \pm 3 \mathrm{cm}\). En théorie on souhaiterait spécifier une hauteur d’activation égale à la précédente, mais en pratique on la spécifie \(1 \mathrm{mm}\) au-dessus pour éviter un message d’erreur du au fait que BaRatin impose des hauteurs d’activation strictement croissantes dans l’ordre des contrôles. Ce rectangle large a pour largeur \(B_w = 467 \mathrm{cm} \pm 2 \mathrm{cm}\)

La courbe de tarage a priori qui résulte de ces spécifications est montrée ci-dessous, et elle est déjà relativement précise, comme c’est souvent le cas lorsque des déversoirs artificiels sont utilisés.

Figure 2. Courbe de tarage a priori pour le ruisseau de Charbonnières à Charbonnières-Les-Bains (l’axe des débits est en échelle log).

3 Jaugeages et courbe de tarage a posteriori

88 jaugeages peuvent être utilisés pour estimer la courbe de tarage a posteriori. Les jaugeages les plus hauts (autour de \(2 \mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{−1}\)) correspondent à des crues relativement fréquentes sur ce bassin, et restent bien en deçà des plus forts débits observés à cette station, puisqu’un débit environ 10 fois plus important a été estimé lors de la crue de novembre 2016. La courbe de tarage a posteriori ci-dessous suggère que les jaugeages ont permis de réduire l’incertitude de la courbe de tarage a priori pour les faibles débits, mais que l’extrapolation vers les forts débits reste très incertaine.

Figure 3. Courbe de tarage a posteriori pour le ruisseau de Charbonnières à Charbonnières-Les-Bains (l’axe des débits est en échelle log).

Une analyse plus poussée des paramètres estimés a posteriori révèle que la cote du fond du rectangle approximant le triangle tronqué est d’environ \(b_2=22 \mathrm{cm}\), ce qui est bien au-dessus de la cote du fond du triangle tronqué \((b_1=7 \mathrm{cm})\) mais en-dessous de la cote du fond du rectangle large \((b_3=41 \mathrm{cm})\). La Figure ci-dessous illustre la géométrie obtenue à partir de ces paramètres estimés.

Figure 4. Géométries estimées du triangle actif pour \(H < 41 \mathrm{cm}\) et du rectangle équivalent qui le remplace lorsque \(H \geq 41 \mathrm{cm}\).

4 Approche alternative : configuration hydraulique “Q=f(h)”

En utilisant une configuration hydraulique “Q=f(h)” au lieu du modèle BaRatin standard, il est possible de représenter le déversoir en triangle tronqué avec l’équation plus exacte indiquée précédemment. En fait, le catalogue de configurations hydrauliques “Q=f(h)” prédéfinies propose, via le menu déroulant, le contrôle “Déversoir rectangulaire avec encoche triangulaire” qui correspond exactement à la configuration de la station Charbonnières, à savoir un déversoir triangulaire tronqué ajouté à un déversoir rectangulaire de même cote \(b'\) et de largeur \(B_r\) :

\[ Q(H)=C_t \sqrt{2g}\tan({\nu/2})(H-b)^{c_t} - C_t \sqrt{2g}\tan({\nu/2})(H-b')^{c_t} + C_r \sqrt{2g} B_r (H-b')^{c_r} \] Les mêmes a priori que précédemment sont définis pour les différents paramètres physiques des contrôles, ce qui permet de calculer une nouvelle courbe de tarage a priori :

Figure 5. Configuration hydraulique “Q=f(h)” et courbe de tarage a priori pour le ruisseau de Charbonnières à Charbonnières-Les-Bains.

Cette courbe de tarage a priori “Q=f(h)” est proche de la courbe de tarage a priori obtenue précédemment avec l’approximation BaRatin, comme le montre cette comparaison :

Figure 6. Comparaison des courbes de tarage a priori “Q=f(h)” et BaRatin pour le ruisseau de Charbonnières à Charbonnières-Les-Bains (l’axe des débits est en échelle log).

Il n’y a pas de conflit entre les résultats et les paramètres a priori, et la courbe de tarage a posteriori “Q=f(h)” est proche de la courbe de tarage a posteriori obtenue précédemment avec l’approximation BaRatin, comme le montre cette comparaison :

Figure 7. Comparaison des courbes de tarage a posteriori “Q=f(h)” et BaRatin pour le ruisseau de Charbonnières à Charbonnières-Les-Bains (l’axe des débits est en échelle log).